炭焼きの煙に涙ぐみながら、九十九折の山道を登っていく

「チルノちゃんあのね、お山の斜面に薪置き場を作りたいんだけど、積んだ薪が崩れてくるのをなるべく防ぎたいので、

勾配がゆるやかな向きに作りたいの。東に10m歩いたら、標高は4.64m、20m歩いたら、標高は7.37m、100m歩いたら、

21.544m上がったわ。」

「ふむふむ。」

「そして、北に10m歩いたら、標高は2.5m、20m歩いたら5m、100m歩いたら25m上がったの。はじめのうちは、東のほうが勾配は急だけど、

水平距離が延びて行くうちに、いつのまにか北側の勾配の方が急になっちゃうのよ。しかも、斜面は北と東だけじゃなくて、

その間の北東もあるでしょ？だからどうしたらいいのか決められなくて。薪置き場は北と東それぞれに15m行った場所と、北に32m、東に67m行った場所の2箇所に作りたいわ。」

「まずは"切り口"で考えてみましょう。東へ歩くことをx軸の増加、北へ歩くことをy軸の増加と考え、北東方向へ歩いた場合の標高の増加を

z軸の増加とすると、

z=x^2/3+y/4

と書けるわね。x=1、つまり東へ1m歩いてから、それ以上東へは移動せずに、北に向かってまっすぐ歩いたとき、このz=x^2/3+y/4はどうなるかしら？」

「えっと、x=1で固定されるから、z=1+y/4かな？」

「そうね。これを、"x=1での切り口"と呼ぶの。さて、この時点から北に1m、つまりx=1、y=1の地点へ行き、

そこからさらに限りなく小さな一歩、そうね…0.1mだけ、北に歩いたときに、標高zはどれだけ上がるかしら？」

「えーっと、(1+1.1/4)-(1+1/4)で、1/40。北に1m地点から、1.1m地点へと一歩を踏み出すと、1/40=0.025m=2.5cmだけ、

高度が上昇するのね。」

「そうね。そして、この高度上昇分を、北方向への微増分である0.1で割ると、何が求まるかしら？」

「高さ/底辺だから、これは"傾き"ね！じゃあ逆も同様で、傾きに底辺の増分、つまりここでは0.1をかけてやれば、

z軸の標高増加分である1/40も求まるってことね。」

「さっすが大ちゃん！物分りがいいわね♪ところで、{(1+1.1/4)-(1+1/4)}/(1.1-1.0)、これって何かと同じよね？

そう、∂/∂y(1+y/4)=1/4なの。つまり、標高増加した新しいzは、

∂/∂y(1+y/4)(y-1)、y=1.1より、1/40

ということなの。じゃあ同じように、今度はz=x^2/3+y/4をy=1で固定、y=1の切り口での、xの挙動を出してみて。」

「傾きが∂/∂x(x^2/3+1/4)=2/(3(x^1/3))、有理化して18(x^2/3)/27x。よって、これにxの増加分0.1をかけて、0.194m、z軸は19.4cmの上昇になったわ。

じゃあ、原点から東に1m歩いた場所での、東方向へ沿って限りなく小さな一歩を踏み出したときの高度上昇は、19.37cm、同様に、原点から北に1m歩いた場所での、

北方向に沿って限りなく小さな一歩を踏み出したときの高度上昇は、2.5cm、そして、東にも1m、北にも1m原点から歩いて、原点から北東に向かった座標(1,1)から、

座標(1.1,1.1)へと小さな一歩を踏み出したときの高度上昇は、∂/∂x(x-x0)+∂/∂y(y-y0)=0.025+0.194=0.219=21.9cm。」

「さぁ、もうあと一息で答えが出るわね！北、東、北東それぞれの斜度を出しましょう。」

「北と東は、y軸とx軸の1と1.1の間の傾きそのものだから、単位を%とした場合の北斜度=100(fy0.1/0.1)=25%。東斜度=100(fx0.1/0.1)=194%。

北東斜度=100(0.1(fx+fy)/(0.1(2^1/2)))=154.9%。以上から、原点より北に1m、東に1mの地点での斜度は、

東>北東>北

の順になる、っていうわけね！あとはもう、(x,y)(15,15)と、(x,y)(67,32)を代入するだけだから、

18(15^2/3)/(27×15)=0.27=東斜度27%、

1/4=0.25=北斜度25%、

((15.1-15)(0.27+0.25))/((15.1-15)(2^1/2))=0.368=北東斜度36.8%。よって、(x,y)(15,15)では、北東>東>北。

18(67^2/3)/(27×67)=0.164=東斜度16.4%、

1/4=0.25=北斜度25%、

((67.1-67及び32.1-32)(0.164+0.25))/((67.1-67及び32.1-32)(2^1/2))=0.293=北東斜度29.3%。よって、(x.y)(67,32)では、北東>北>東。

ところで、座標(x,y)(1,1)のときは、高度上昇そのものは北東方向が大きいけれど、斜度は東の方が大きいというところが面白いわ。これは斜度計算の際に、

北東の水平距離の要素に、1辺の値が1の立法の対角である2^1/2がかかっているからね。ということは、北東が3方向のうち最も急傾斜になる条件は、

(fx(x-x0)+fy(y-y0))/fx(x-x0) > 2^1/2　かつ　(fx(x-x0)+fy(y-y0))/fy(y-y0) > 2^1/2

であることだといえるわ！(x,y)(1,1)では、(0.194+0.025)/0.194=1.128<2^1/2なので、この条件に当てはまらず、東の方が北東より急傾斜に確かになっているわ。」

「つまり、北東方向が最も急傾斜になるには、北と東の高度上昇の比が、

(2^1/2+(2-2^1/2))/(2^1/2)=2^1/2から、2^1/2:2-2^1/2≒1.41:0.59　まで、ということになるわね。」