炭焼きの煙に涙ぐみながら、九十九折の山道を登っていく

炭焼きの煙に涙ぐみながら、九十九折の山道を登っていく 3話

「これはすでに述べた方向微分とも関連しているのだけれど、(x,y)を、(15,15)を基点にxy平面上の北東へのごく小さな一歩rのみで表現したらどうだっけ？」

「これは何度も出てきたよね。(x,y)=(15+r/(2^1/2),15+r/(2^1/2))だわ。」

「うんうん。これで、x,yという2つの変数を、rという1つの変数で表現できたわよね？では、とりあえずこれをz=f(x,y)=x^2/3+y/4に代入してみると、

z=f(r)=(15+r/(2^1/2))^2/3+(15+r/(2^1/2))/4となり、これをrで微分すると、

dz/dr=18(15+r/(2^1/2))^2/3 / {27(15+r/(2^1/2))(2^1/2)}+1/(4(2^1/2))、r=0.1とおくと、0.3676だわね。ちなみに、左項の分子に(2^1/2)が出現するのは、

(15+r/(2^1/2))^2/3が合成関数の微分であるため、(15+r/(2^1/2))=uと置いて、du/drしたものだから注意してね。

さて、ちょうど合成関数の話が出てきたから流れで説明できて嬉しいけど、そもそも(x,y)=f(r)、そしてz=f(x,y)なのだから、これも合成関数だということがお分かりいただけるかしら。

つまり、dz/dr　=　(∂z/∂x)(dx/dr)+(∂z/∂y)(dy/dr)

という関係が導き出せるわけね。f(x,y)をxで微分し、xをrで微分し、両者をかければ、zをx方向のr増分で微分したことになり、f(x,y)をyで微分し、yをrで微分したものをかければ、

zをy方向のr増分で微分したことになるので、この2つの和が、めでたくz=f(x,y)をrで微分できたということになるわ。

実際に試してみると、∂z/∂x=18(x^2/3)/27x、　∂z/∂y=1/4、　dx/dr=1/(2^1/2)、　dy/dr=1/(2^1/2)

よって、　(∂z/∂x)(dx/dr)+(∂z/∂y)(dy/dr) = {18((15+r/(2^1/2))^2/3)}/{27(15+r/(2^1/2)}*1/(2^1/2)+1/(4(2^1/2))、r=0.1とおくと、0.3676で、確かにdz/drとなったでしょ？」

「あっ、面白～い。zを直接rで微分するのと、zを一度xとyで微分して、それからxとyをrで微分するのは、結局同じことだというのがよくわかるわぁ～。

まるで、rの変化がxとyへ、xとｙの変化がzへと連鎖していくようなイメージなのね。

「だからこれには、連鎖法則という名前がついているのよ。あいすすとーむ！☆」

「連鎖法則を用いて、z=f(x,y) x,y=g(r)とdz/drが等しいことがわかったけど、ここでさらに、x,yを２変数関数にしたらどうなるかしら？つまり z=f(x,y) x,y=g(t,w)が、dz/dt+dz/dwと

等しくなる、と拡張した場合ね。さきほどは、x=15+r/(2^1/2)　y=15+r/(2^1/2)という、xではcosπ/4、yではsinπ/4である1/(2^1/2)を定数としていたから、北東の方角に限定した

rの大きさ次第のzを求める式になっているわ。２変数関数に出来るということは、この1/(2^1/2)という定数を変数に出来る、つまり角度をいろいろ変えることが出来るのよ。」

「じゃあ、x(t,w)=15+tcosw、y(t,w)=15+tsinwになって、∂z/∂t=(∂z/∂x)(dx/dt)+(∂z/∂y)(dy/dt)、∂z/∂w=(∂z/∂x)(dx/dw)+(∂z/∂y)(dy/dw)ってことね！

∂z/∂x=18(x^2/3)/(27x)、∂z/∂y=1/4、dx/dt=cosw、dx/dw=-tsinw、dy/dt=sinw、dy/dw=tcoswだから、

∂z/∂t={18(x^2/3)cosw}/(27x)+sinw/4、これを(x,y)をf(t,w)として表すと、{18((15+tcosw)^2/3)cosw}/(27(15+tcosw))+sinw/4だわね。あっ、この式が正しいって一瞬でわかっちゃった。

だって、w=π/4とすれば、{18((15+t/(2^1/2))^2/3)}/{27(15+t/(2^1/2)}*1/(2^1/2)+1/(4(2^1/2))となって、さっきやった(x,y)=f(t)の一変数関数と置いたときの式と、全く同じ形になるもの！

てへへ。じゃあ引き続き∂z/∂wも求めてみると、

∂z/∂w={-18(x^2/3)tsinw}/(27x)+(tcosw)/4、これを、(x,y)をf(t,w)として表すと、{-18((15+tcosw)^2/3)tsinw}/(27(15+tcosw))+(tcosw)/4になったわ。」

「t=0.1と固定して、wを勾配ベクトルより大きい60°と設定してみましょうか。勾配ベクトルで斜度が最大になることから、勾配ベクトル以上の60°を代入すれば、

傾きは負になることが予想されるわね。{-18((15+0.1/2)^2/3)(0.1*(3^1/2)/2)}/(27(15+0.1/2))+(0.1/2)/4=-0.0108、よって1.08%の下り勾配。」

「う～ん、大ちゃん、惜しいわね。勾配ベクトルを過ぎると勾配が負の値を示すことに目をつけたのは良いし、確かに負にはなっているんだけど、

正しい勾配はその値の約10倍になるわ。なぜかというと、

∂z/∂w={-18(x^2/3)tsinw}/(27x)+(tcosw)/4は実は正しくなくて、正しくは∂z/∂w={-18(x^2/3)sinw}/(27x)+cosw/4だからなの。

(15+tcosw)∂/∂wは、普通に計算すると-tsinwになるけれど、ここでは-sinwが正しいの。これはなぜかというと、

微分の定義から、w0の角度に長さtだけ延びた点pと、w1の角度に長さtだけ延びた点qとを比べたときに、

(tcosw1-tcosw0)/|q-p|

となる値だわね。」

「ははぁ～ん、こうして見ると、tの値にしたがって、|q-p|も比例変化するわけだから、tは導関数に入らないってことね。

もし仮に入っていたとしたら、相似なはずの三角形の斜辺の長さが変わったときに、斜辺と底辺をなす角度wまで変わってしまうということになるから、

そこでも-tsinwではなくて、-sinwが正しいことがわかるわ。」

「それじゃあ正しい式がわかったところで、dz/dwに、勾配ベクトルgradf(15,15)=(0.27,0.25)=42.792°を代入してみましょう。何が起こるかしら?」

「仮にt=0.1として、(-18sin42.792(15+0.1*cos42.792)^2/3)/(27(15+0.1*cos42.792))+cos42.792/4=0.00264≒0.2%の勾配･･･。ほぼ勾配ゼロということは、以前に出した、

標高増加分は勾配ベクトル方向の傾きとxy平面上の移動分の内積で求められるという関係、

gradf・Δt、 gradf×Δt×cosπ/2=0

となり、角度wの微分とはすなわち、基点(ここでは(15,15))からw0方向へのベクトルに直交している向きに、xy座標が移動することを示しているのね！

それに、(-18sinw(15+tcosw)^2/3)/(27(15+tcosw))+cosw/4　に、w=0を代入すれば、それは完全にy軸方向つまり南北軸に沿って一歩を踏み出した場合の傾斜0.25=25%と一致すること、

w=π/2を代入すれば、それは完全に東西軸に沿って、一歩を踏み出した場合の傾斜-0.27=-27%と一致することからも明らかだわ！」

「ところで大ちゃん、今回私達が取り上げている山の斜面の関数、z=x^(2/3)+y/4だけど、x^(2/3)ってかなり解くのがめんどくさそうな式よね？まぁ、関数電卓とか、

スマホアプリとかに打ち込めば機械が計算してくれるんだけど、一応紙と鉛筆さえあれば簡単に出せる方法を教えるわ。まず、(x^(1/3))^2という形に変形して、

x^(1/3)を出して、それを2乗すればいいから、xの3乗根を出したい。xは15にしましょうか。」

「とりあえず、2の3乗は8、3の3乗は27だから、15の3乗根は2と3の間にあることがわかったわ。大まかなあたりをつけてみたら、2.45の3乗が、14.706で15に近いわね。」

「いいわね～。つまり15は、(a+b)^3、a=2.45というわけね。bを出すには、式の展開をしたいわね。根気よく、(a+b)(a^2+2ab+b^2)を計算する？」

「んもう、チルノちゃん私を見くびらないでよぉ。二項定理くらいは使えるわ。Σk=0→n nCk a^(n-k)b^k　で、n=3だから、項の数はn=0の場合を足して4つ。

一つ目の項は、3C0*a^3*b^0=1*a^3*1=a^3。二つ目の項は、3C1*a^(3-1)*b^1=3*a^2*b=3a^2b。三つ目の項は、3C2*a^(3-2)*b^2=3*a*b^2=3ab^2。4つ目の項は、3C3*a^(3-3)*b^3=1*1*b^3=b^3。

Σk=0→nよりこれらの項を全て足して、a^3+3a^2b+3ab^2+b^3。どう？」

「ビューティフル！(a+b)はx^(1/3)=a、b=0に近づけたいという当初の狙いから、a>>bと自動的になるわね。すると、(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3は、

(a+b)^3=a^3+3a^2bに近似でき、b=((a+b)^3-a^3)/(3a^2)、よって、(a+b)=x^(1/3)=a+((a+b)^3-a^3)/(3a^2)。(a+b)^3に15、aに2.45を代入すると、

b=(15-14.706)/(3*2.45^2)=0.0163、a+b=x^(1/3)=2.4663。あとはこの値を二乗すれば、めでたく15^(2/3)が6.082と導かれるってわけよ。ちなみにこのやりかたは開立方(かいりゅうほう)という名前が付いているの。」

「bがきわめて小さな値であることに着目して、べき乗された項を0と見立てて式を簡単にしていることが、とっても実用的に見えるわ。」

さて、2変数関数の接平面の方程式は、z=∂z/∂x(x-x0)+∂z/∂y(y-y0)+z0　limx→x0 limy→y0で示されることは、いままでの討論で十分にわかったわけだけど、

それではこの接平面の方程式と、(x0,y0)=(x,y0)=(x0,y)=(x,y)=z0の平面とに挟まれた空間の体積を、(x-x0)=(y-y0)=1とした場合で求めてみましょう。

計算の簡単のために、2変数関数は、z=x^3+y^2、(x0,y0)(2,2)よって接平面の方程式は、3x^2(x-2)+2y(y-2)+16=12x+4y-16ね。

「4角錐に似た図形になることは予想できるけど、なかなか骨が折れそうねえ。ひとまず、zが高くなっていくにつれて、立体のxy平面上への投影であるΩxyがどのように変化するのか見てみるわ。

z=0をphase0と名づけると、Ωxyは、x=1、y=1の平方。次に、z=4をphase1と名づけると、Ωxyは、面積1の平方から、x=1/3、y=1の三角形の面積を引いた台形になるわ。

引き続き、z=12をphase2と名づけると、そのΩxyの面積は、面積1の平方から、x=1/3、y=1の三角形を引いたもの、ただし、その三角形の位置は先ほどphase1の対面。

最後にz=16をphase3と名づけると、Ωxyは0だわね。」

「Ωxyは変数xと変数yの積分で求められるので、∫∫Ωxy dxdyでその面積が求められる。ここで、Ωxy={(x,y):0≦x≦1、0≦y≦1-x}とすれば、

∫(0→1)∫(0→1-x) dydx （0.1×1+0.1×0.9+0.1×0.8+･･･をあらわしていることがわかる。limx=0.1→0で、より正確になってゆく。）とあらわせるわね。

これは1辺が長さ1の2等辺三角形だとすぐに予想できるので、その面積は1/2。では、さきほどの積分をして1/2になるか確かめましょう。

∫(0→1)∫(0→1-x) dydx= ∫(0→1)[y](0→1-x)dx= ∫(0→1)1-xdx= [x-(x^2)/2](0→1)= 1-1/2=1/2。正しいわね。では、このx,yの変化にしたがって変化するzを記述し、さらに積分すると?」

「立体になる、つまりzの記述しだいで、三角錐や三角柱を描写できるのね！その場合、z=1の三角錐なら、z=1-x-yより、

∫(0→1)∫(0→1-x)∫(0→1-x-y)dzdydx= ∫(0→1)∫(0→1-x)1-x-ydydx= ∫(0→1)1/2-x+(x^2)/2dx= [1/2x-(x^2)/2+(x^3)/6](0→1)= 1/2-1/2+1/6= 1/6。

すっごぉ～い！じゃあ、この方法を使って、問題の体積を出してみるわ！」