Nighthawk

第8話：挑戦状

8は1を足して平方数になる唯一の立方数(カタラン予想)。

---

適当に入試問題解いてるけど、本当はこんなことしたいわけじゃないんだよなー。なんでまともに本を読めなくなったんだろう？

それにしても、今年のK大はよくもまぁこんな悪魔みたいな問題を最後に持ってきたね。受験者の心を折る気かな？

「君が本堂君かい？」

「誰？」

「……現学年1位でこの学校の理事長の息子の武田「何の用？」……いや、旧学年1位の上杉君から君のことを聞いて」

「学年1位ね。じゃあこれ解いてみてよ」

「え？」

“三角形の重心、垂心、外心が一直線上にあることを示せ”

「ほら、解けるでしょ？学年1位」

〜数十分後〜

「じ、じつは僕、図形が苦手で……」

「随分とつまらない言い訳だね」

「うぐっ！い、いや、本当に苦手なんだ！もう1問頼む！」

「君が1位をとったというその期末試験、確か数列が試験範囲だったかな？」

$\displaystyle \lim_{n \to \infty } a_n =0$ のとき $\displaystyle \lim_{n \to \infty } \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$ を求めよ

「ほら、数列の問題だよ」

「み、見たことのない記号があるから……」

「極限のこと？それなら」

$\displaystyle \lim_{n \to \infty } a_n = \alpha$

の意味は

$\forall \varepsilon \gt 0, \exists N \in \mathbb{N} , \forall n \in \mathbb{N} , n \geqq N \implies | a_n - \alpha | \lt \varepsilon $

「これで解けるでしょ」

「余計に意味がわからない！」

「注文が多いなぁ。じゃあこっちなら得意分野かな？」

次の条件を満たす関数$f(x)$を1つ見つけよ

・定義域は$a \lt x \lt b$ , ただし$a,b$は実数

・値域は実数全体 *1

・$f(t)=f(s)$ならば$t=s$

・すべての実数$y$に対して1つ目の条件を満たすような$x$が存在して$y=f(x)$と表せる

「ほら、解けよ学年1位。点取りゲームで培った、君のその頭脳で」

「ってことがあったんだけどさ」

「鬼かお前」

「失敬な。極限の問題はともかく、他の2つは高校生の知識でもちゃんと解けるよ」

「……実際解けそうではある」

「じゃあ1週間以内に解いてきてよ。半分くらい君のせいで変なやつに絡まれたんだからさ」

*1：

賢明なる読者諸君は気付いたかもしれないが、ここでの値域は像ではなく終域の意味で用いている。像の意味で読み替えても構わないが、その場合は最後の条件が不要となることがわかるだろう。

---

最後の問題、3つ目の条件は単射で、4つ目の条件は全射ですね。