天文分野も気にはなるが、今はひとまず数学をやる。何回か授業をやって、対数関数の逆関数である指数法則については正の実数の範囲まで拡張しておいた。通信機は安定した電源ができたらやろう。これは先延ばしではなく一つの内容に集中することで効率化を目指す手法である。
「例えば、$\lg 0.1$というものを考えることができる」
不思議がる視線が飛んでくる。うん。
「もう一度、$\lg$ の例に戻ろう」
$$\begin{eqnarray} \lg 10 &=& 1\\ \lg 100 &=& 2\\ \lg 1000 &=& 3\\ \lg 10000 &=& 4\\ \lg 100000 &=& 5 \end{eqnarray}$$
「ある数が10倍になるごとに、対数の値が一つ増えていく。ここから下に考えていけば、10000000の対数を取ると7になる。しかしこれを上に拡張することはできないだろうか？」
$$\begin{eqnarray} \lg\, ? &=& 0-1\\ \lg\, ? &=& 0\\ \lg 10 &=& 1\\ \lg 100 &=& 2\\\end{eqnarray}$$
「結論から言うと、できる。しかし少し面倒な数が出てくる。$0$というのはそもそも数としては存在しないし、$0-1$ というのは実際に扱うことはできない。ただ、経理の分野で負債がないことや、負債が存在することを示すために使われることがある」
「あくまで実用上の数、ですか」
若い学徒が言う。
「そう。ただ、そう言ってしまえば全ての数はこの世界とは関係がない、ただの空虚な哲学的なものになる。どこで線を引くかは難しいものだ」
そう言って、私は局員の方を見る。
「では、対数を取って無値となるような数はなんだろうか？*1」
「10を10で割ればいい。1だ」
「その通り。では、その次。無値の1欠けになるようなものは*2」
「0.1、です」
視線を向けたケトはちゃんと答えてくれた。よしよし。ついてはいけているようだ。ちゃんと復習をやっていたのを私は知っている。
「いいね」
$$\begin{eqnarray} \lg 0.001 &=& 0-3\\ \lg 0.01 &=& 0-2\\ \lg 0.1 &=& 0-1\\ \lg 1 &=& 0\\ \lg 10 &=& 1\\ \lg 100 &=& 2\\ \end{eqnarray}$$
「今後、差の記号の前についている空位記号については省略するよ。欠けた値についても考えて、対数ともとの値の関係を図にするとこうなる」
納得する生徒たち。よし。まあグラフを見たことがあるならこの読み方はなんとなくは見当がつくだろう。
「まあ手描きだから多少歪んでいるのは勘弁してくれ。さて、ここからは少し幾何学的な問題に移る」
私は$(1, 0)$で対数曲線と接するような線を引く。
「これの勾配を求めたい」
建設や土木の分野で生まれた概念である勾配は、幾何学に一応取り入れられてはいた。ただ、私がやっていることはいくつかのステップを飛ばしたものだ。例えば今やっていることは明らかに微分である。ルネ・デカルトやピエール・ド・フェルマーが座標平面上における微積分みたいな概念はやっているので、座標平面が生まれればそう特別な概念ではないが。
「勾配は横と縦の比であると言える。ここでグラフ上のある点と、$\lg 1 = 0$を表している点とを結ぶことを考えよう」
「こういう感じでいいかな*3」
「新しく取る点は$\lg 1 = 0$を表している点の右側である必要があるのか？」
局員が言う。
「ないよ。あくまで仮にそう置いただけ」
「わかった。ひとまず説明をお願いしたい」
お、疑問を持たれているな。正しい。ここらへんは少しややこしい分野だからね。私だって厳密にやっているか少し怪しいところがある。
「で、この傾きは縦の差を横の差で割ればいいのだから」
$$\frac{\lg(1 + \delta) - \lg 1}{(1 + \delta) - 1}$$
「あとはこれを計算していくよ。対数の差は、対数を取る前の商の対数だということに注意していけば*4」
$$\begin{eqnarray} \frac{\lg(1 + \delta) - \lg 1}{(1 + \delta) - 1} &=& \frac{\lg(1 + \delta)}{\delta}\\ &=& \frac{1}{\delta} \cdot \lg(1 + \delta)\\ &=& \lg (1 + \delta)^{\frac{1}{\delta}} \end{eqnarray}$$
「少し休憩を入れようか。その間に、この式の変形を確認しておいて」
自然対数の底の定義に近い形が出たのを確認して、私は