ブルーアーカイブ入試対策委員会

命題の証明２

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問　次の問いに答えよ。

(1) 正の整数 a, b について、ab ≧ 20 ならば、a, b のうち少なくとも 1 つは [ ] 以上である。([ ] には、あてはまる最大の整数を入れよ。)

(2) 命題 A「正の整数 a, b, c について、abc ≧ k であるならば、a, b, c のうち少なくとも 1 つは 6 以上である」

命題 B「正の整数 a, b, c について、abc ≦ k であるならば、a, b, c のうち少なくとも 1 つは 6 以下である」

命題 A, B がともに真となるような正の整数 k のうちで最大のものと最小のものを求めよ。

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　「この (1) だけど、 a = 20, b = 1 でも ab ≧ 20 は成り立つよね？ だったら、[ ] に入るのは最大値の 20 じゃだめなの？」

「鋭い質問ですね。でも、この問題は 『ならば（常に成り立つ）』 という論理の向きにあるんです」

「常に……？」

「そうです。もし [ ] に 20 を入れてしまうと、

『 ab ≧ 20 ならば、少なくとも一方は 20 以上である』

という主張になりますよね。でも、反例を考えてみてください。例えば a = 4, b = 5 のとき、積は 20 ですが……」

「あ！ a も b も 20 以上じゃない！ ってことは、この主張が偽になるのか」

「その通りです。つまり、[ ] に入れる数字は、『積が 20 以上になるどんなペアを持ってきても、絶対に文句を言われない数字』 でなければなりません」

「それを踏まえて、解説していきます」

「この問題は、不等式と論理の問題ですね。直接考えるのが難しいときは、『対偶*1』を考えるのが定石です」

「『少なくとも 1 つは～』という言葉が出てきたら、対偶の出番ってことか！」

「その通りです。まずは (1) から。結論の『少なくとも 1 つは n 以上』を否定すると、『a, b ともに n - 1 以下』となります。このとき、仮定の否定である ab < 20 が常に成り立てばいいわけです」

「a, b が最大値である n - 1 をとるときでも、積が 20 未満になればいいんだね」

「そうです。(n - 1)² < 20 を満たす最大の整数を考えます。

4² = 16 （20より小さい）

5² = 25 （20以上になってしまう）

なので、n - 1 = 4、つまり n = 5 です」

A, 5

「次は (2) だね。これも対偶を使うの？」

「はい。命題 A の対偶は『a, b, c がすべて 5 以下ならば、abc < k』です。これが真になるには、a, b, c が最大の 5 をとるときの積 5³ よりも、k が大きければいいのです」

「5³ = 125 だから、125 < k。つまり k ≧ 126 ということかな」

「正解です。同じように命題 B の対偶も考えましょう。『a, b, c がすべて 7 以上ならば、abc > k』となります。これが真になるには、a, b, c が最小の 7 をとるときの積 7³ よりも、k が小さければいいのです」

「7³ = 343 だから、k < 343。つまり k ≦ 342 だね」

「まとめると、126 ≦ k ≦ 342 となります。この範囲の整数で最大と最小を答えれば終了です」

A, 最大値：342、最小値：126

「おお……！ 対偶を使うと、何を計算すべきか一瞬で見えるね！」

「複雑な条件は、否定をとることで『すべて～』という扱いやすい条件に変わることが多いです。これを覚えておけば、他の応用問題でも役立ちますね」

*1：

命題「P ⇒ Q」に対して「（Qでない）⇒（Pでない）」としたもの。元の命題と真偽が一致する。

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東海大2002年の類題です。