ブルーアーカイブ入試対策委員会

必要十分条件１

「先生、また難しい顔をして……。今度は『必要条件と十分条件』ですか」

「あ、ケイちゃん！ そうなんだよ。この『必要十分』っていう言葉、どっちがどっちだかいつも混乱しちゃって……」

「はぁ……。主語が『矢印の根元』なら十分、『矢印の先』なら必要。ただそれだけのことですが、理屈で覚えるより問題の構造を理解するのが近道です。例えば、この問題を考えてみてください」

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問　x, y, z を実数とするとき、次の空欄に当てはまるものを下記の選択肢から選び、その番号を書け。

(1) x = y = z = 0 は x² + y² + z² + xy + yz + zx = 0 であるための《ア》。

(2) x + y = 0 であることは |x - y| = |x + y| であるための()《イ》。

[選択肢]

① 必要条件であるが十分条件ではない。

② 十分条件であるが必要条件ではない。

③ 必要十分条件である。

④ 必要条件でも十分条件でもない。

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「(1)だけど……これ、左から右（x=y=z=0 ならば 式=0）は、代入すればすぐ 0 になるから正しいよね？ つまり『十分』ではあるのかな」

「ええ、そこまではいいでしょう。問題は逆です。

x² + y² + z² + xy + yz + zx = 0 のとき、

必ず x = y = z = 0 と言えるかどうか。先生、この式……どこかで見覚えはありませんか？」

「えーっと、因数分解の公式で似たようなのが……」

「そうですね。これは平方完成の応用で変形できます。 2倍して全体を半分にしてみれば、

1/2 { (x+y)² + (y+z)² + (z+x)² } = 0 と書き換えられます。実数の二乗の和が 0 になるということは、各括弧の中身がすべて 0 でなければなりません」

「……ってことは、 x+y=0, y+z=0, z+x=0 だから、結局全部 0 になるってことか！」

「そうです。つまり逆も真。したがって(1)は必要十分条件となります」

A, (1) ③

「じゃあ(2)を解いてみると。 x + y = 0 なら、右辺の |x + y| () は 0 になるね。

左辺は |x - (-x)| = |2x|() だから……あれ？ これ、x が 0 じゃないと成立しないんじゃない？」

「正解です。 x + y = 0 であっても、x が 0 でなければ式は成立しません。つまり『十分条件』ではありません。では、逆はどうでしょう？」

「式 |x - y| = |x + y| () を両辺二乗してみると……」

(x - y) ² = (x + y) ²

x ² - 2xy + y ² = x ² + 2xy + y ²

4xy = 0

「つまり xy = 0 、よって x = 0 または y = 0 ということですね。先生、

x + y = 0 からこの条件は導けますか？」

「いや、 x = 1, y = -1 のときは xy = -1 だからダメだね。逆に、 xy = 0 だったとしても、必ずしも x + y = 0 にはならない（x=1, y=0 など）。」

「その通りです。どちらの方向の矢印も成り立たないため、(2)はどちらでもない、となります」

A, (2) ④

「うぅ……やっぱり条件分岐を丁寧に洗わないとダメなんだね」

「論理学は力任せでは解けません。命題の真偽を一つずつ、反例がないか確認する癖をつけてください。……まぁ、先生にしてはよく考えられた方ですよ」

「ケイちゃんに褒められた！ 今日はいい夢見れそうだよ」

「寝る暇があったら……いや、しっかり寝てください。いいですね？」

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松山大学2006年の類題です。