※小説ではない※専門書 要約資料集 為替(換算)3.9万円でもらう 紐解集生成 専門 初入門 資料 作：｛作者名｝
> 学問の宇宙・史料図書(§16.17)第205号。図解・一覧が主役の簡易専門書。ガイド役: Fable 5 監修 / Sonnet 5 執筆(史料図書隊)。
> 位置づけ: BOOK-0002(算術・第1冊「恒星の最初の光」)・BOOK-0063(数学派生・微分積分・第1巻)は歴史・物語・段階展開(散文)を担当する。本冊はそれらと**重複せず**、代数・幾何・三角比・指数対数・数列・微積・確率統計の**公式そのもの・定理・図解を一望できる早見表**として機能する。
> 文章規約: 見出し+一行解説主体。専門語は初出に水準(§14.2)を付す。外部本文の転載はしない(§16.5)。数値は確実なものだけを断言し、概数は「≈」で明記する。
# BOOK-0205 数学史料 — 公式と定理の早見
> 学問の宇宙・史料図書(§16.17)第205号。図解・一覧が主役の簡易専門書。ガイド役: Fable 5 監修 / Sonnet 5 執筆(史料図書隊)。
> 位置づけ: BOOK-0002(算術・第1冊「恒星の最初の光」)・BOOK-0063(数学派生・微分積分・第1巻)は歴史・物語・段階展開(散文)を担当する。本冊はそれらと**重複せず**、代数・幾何・三角比・指数対数・数列・微積・確率統計の**公式そのもの・定理・図解を一望できる早見表**として機能する。
> 文章規約: 見出し+一行解説主体。専門語は初出に水準(§14.2)を付す。外部本文の転載はしない(§16.5)。数値は確実なものだけを断言し、概数は「≈」で明記する。
---
## 目次
1. 代数の公式集
2. 幾何の公式集
3. 三角比の公式集
4. 指数・対数の公式集
5. 数列の公式集
6. 微積分の基本公式集
7. 確率統計の公式集
8. 図解(ASCII) — 直角三角形・円・放物線
9. 数値検算ログ(実測)
10. 検定問題(public/answers)
---
## 1. 代数の公式集
**代数(だいすう、水準二: 数の代わりに文字を使って、計算の規則や関係を一般化して扱う分野)** の基本式。
| 公式 | 内容 | 水準 | 一行解説 |
|---|---|---|---|
| `(a+b)² = a²+2ab+b²` | 展開公式(和の平方) | 三 | 二つの項の和を二乗すると、それぞれの二乗と積の2倍の和になる。 |
| `(a-b)² = a²-2ab+b²` | 展開公式(差の平方) | 三 | 和の平方公式のbを-bに置き換えた形(符号だけが変わる)。 |
| `(a+b)(a-b) = a²-b²` | 展開公式(和と差の積) | 三 | 和と差の積は、二乗の差になる(因数分解では逆向きに使う)。 |
| `a²-b² = (a+b)(a-b)` | 因数分解(二乗の差) | 三 | 上の展開公式を逆向きに読んだもの。式を「積の形」に戻す代表例。 |
| `x²+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q)` | 因数分解(たすき掛けの基本形) | 四 | 定数項pqと1次の係数(p+q)から、掛けてpq・足してp+qになる2数を探す。 |
| `x = (-b±√(b²-4ac)) / 2a` | 二次方程式の解の公式 | 五 | `ax²+bx+c=0`(a≠0)の解を係数だけから直接求める式。根号の中身(判別式)の符号で解の個数が変わる。 |
| `D = b²-4ac` | 判別式 | 五 | D>0で異なる実数解が2つ、D=0で重解が1つ、D<0で実数解なし(虚数解)。 |
| 因数定理 | `f(a)=0 ⟺ (x-a)は f(x)の因数` | 六 | 多項式f(x)にx=aを代入して0になれば、f(x)は(x-a)で割り切れる(高次式の因数分解の突破口)。 |
**因数定理の使い方(一行メモ)**: `f(x)=x³-6x²+11x-6` にx=1を代入すると `1-6+11-6=0`。よって(x-1)が因数と分かり、残りを割り算すれば `f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)` まで分解できる。
---
## 2. 幾何の公式集
**幾何(きか、水準二: 図形の形・大きさ・位置関係を扱う分野)** の基本式。
| 公式 | 内容 | 水準 | 一行解説 |
|---|---|---|---|
| `S = ½×底辺×高さ` | 三角形の面積 | 二 | 底辺と高さの積の半分。あらゆる多角形の面積は三角形分割で求められる基礎式。 |
| `a²+b²=c²` | ピタゴラスの定理(三平方の定理) | 三 | 直角三角形で、直角を挟む2辺(a,b)の二乗の和が、斜辺(c)の二乗に等しい。 |
| `S = πr²` | 円の面積 | 三 | 半径rの円の面積。円周率π(パイ、水準三: 円周と直径の比。≈3.14159…で無限に続く値)を使う。 |
| `L = 2πr` | 円周の長さ | 三 | 半径rの円の周りの長さ。 |
| `V = 4/3 πr³` | 球の体積 | 五 | 半径rの球の体積。円の面積公式に比べ次数が1つ増える(平面から立体への拡張)。 |
| `S = 4πr²` | 球の表面積 | 五 | 半径rの球の表面積。体積公式Vをrで微分すると表面積の式に一致する(§6と接続)。 |
| `V = ⅓×底面積×高さ` | 角錐・円錐の体積 | 四 | 錐体(先がとがった立体)の体積は、同じ底面・高さの柱体の1/3。 |
---
## 3. 三角比の公式集
**三角比(さんかくひ、水準三: 直角三角形の辺の長さの比を、角度と対応づけたもの)** の基本式。
| 公式 | 内容 | 水準 | 一行解説 |
|---|---|---|---|
| `sinθ = 対辺/斜辺` | 正弦(サイン) | 三 | 角度θに対する「向かい側の辺」と「斜辺」の比。 |
| `cosθ = 隣辺/斜辺` | 余弦(コサイン) | 三 | 角度θに対する「隣り合う辺」と「斜辺」の比。 |
| `tanθ = 対辺/隣辺 = sinθ/cosθ` | 正接(タンジェント) | 三 | 傾き(勾配)を表す比。sinとcosの比としても定義できる。 |
| `sin²θ + cos²θ = 1` | 三角関数の相互関係 | 四 | ピタゴラスの定理(§2)を単位円上の座標(cosθ, sinθ)に当てはめた式そのもの。 |
| `sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ` | 正弦の加法定理 | 六 | 2つの角の和の正弦を、それぞれの正弦・余弦の組合せで表す。 |
| `cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ` | 余弦の加法定理 | 六 | 正弦の加法定理と対をなす式(符号が引き算になる点に注意)。 |
**単位円との対応(一行メモ)**: 半径1の円(単位円)上で、角度θの点の座標がちょうど`(cosθ, sinθ)`になる。だから`sin²θ+cos²θ=1`は「その点は原点から距離1にある」というピタゴラスの定理そのものである。
---
## 4. 指数・対数の公式集
**指数(しすう、水準三: 同じ数を何回掛け合わせるかを表す右肩の小さな数)と対数(たいすう、水準五: 「何乗すればその数になるか」を表す、指数の逆演算)** の基本法則。
| 公式 | 内容 | 水準 | 一行解説 |
|---|---|---|---|
| `aᵐ × aⁿ = a^(m+n)` | 指数法則(積) | 三 | 同じ底の掛け算は、指数の足し算になる。 |
| `aᵐ ÷ aⁿ = a^(m-n)` | 指数法則(商) | 三 | 同じ底の割り算は、指数の引き算になる。 |
| `(aᵐ)ⁿ = a^(mn)` | 指数法則(累乗の累乗) | 四 | 指数をさらに累乗すると、指数同士の掛け算になる。 |
| `a⁰ = 1`(a≠0) | 指数法則(ゼロ乗) | 四 | どんな数(0を除く)も0乗すれば1になる(積の法則`aᵐ÷aᵐ=a⁰=1`から導ける)。 |
| `log_a(xy) = log_a x + log_a y` | 対数法則(積) | 五 | 掛け算を対数にすると足し算に変わる(対数が「計算を簡単にする裏技」と呼ばれる理由)。 |
| `log_a(x/y) = log_a x - log_a y` | 対数法則(商) | 五 | 割り算を対数にすると引き算に変わる。 |
| `log_a(xⁿ) = n・log_a x` | 対数法則(累乗) | 五 | 累乗を対数にすると、指数を前に出した掛け算に変わる。 |
---
## 5. 数列の公式集
**数列(すうれつ、水準三: 一定の規則に従って並んだ数の列)** の基本式。
| 公式 | 内容 | 水準 | 一行解説 |
|---|---|---|---|
| `an = a1 + (n-1)d` | 等差数列の一般項 | 四 | 初項a1に、公差d(隣同士の差)をn-1回加えたものが第n項。 |
| `Sn = n(a1+an)/2` | 等差数列の和 | 四 | 「初項と末項の平均×項数」で和が求まる(ガウスの少年時代の逸話で有名な裏技)。 |
| `an = a1・r^(n-1)` | 等比数列の一般項 | 五 | 初項a1に、公比r(隣同士の比)をn-1回掛けたものが第n項。 |
| `Sn = a1(rⁿ-1)/(r-1)`(r≠1) | 等比数列の和 | 五 | 公比rが1でないときの、等比数列n項分の和を直接求める式。 |
---
## 6. 微積分の基本公式集
**微分(びぶん、水準六: ある瞬間の変化の割合〈傾き〉を求める計算)と積分(せきぶん、水準六: 微小な量を足し集めて、全体の量〈面積・体積など〉を求める計算)** の基本式。
| 公式 | 内容 | 水準 | 一行解説 |
|---|---|---|---|
| `d/dx(xⁿ) = nx^(n-1)` | べき関数の微分 | 六 | xのn乗を微分すると、指数nが前に出て指数が1減る。 |
| `d/dx(定数) = 0` | 定数の微分 | 六 | 定数(変化しない値)の変化率は常に0。 |
| `∫xⁿ dx = x^(n+1)/(n+1) + C`(n≠-1) | べき関数の積分(不定積分) | 六 | 微分と逆の操作。指数が1増えて、増えた指数で割る。Cは積分定数(水準六: 微分すると消える定数項。不定積分には必ず付く)。 |
| `∫[a→b] f(x)dx = F(b)-F(a)` | 定積分(微積分学の基本定理) | 七 | f(x)の原始関数(微分するとf(x)に戻る関数)F(x)を使い、区間[a,b]でのf(x)の面積を求める。微分と積分が逆演算であることを示す中心定理。 |
**微分と積分が逆演算であることの一行メモ**: `d/dx(x³)=3x²` であり、`∫3x² dx = x³+C`。片方の操作をもう片方で戻すと(定数のズレを除いて)元に戻る——これが微積分学の基本定理の直感である。
---
## 7. 確率統計の公式集
**確率(かくりつ、水準四: ある出来事が起こりやすさを、0から1までの数値で表したもの)と統計(とうけい、水準四: 集めたデータの傾向・ばらつきを数値でまとめる分野)** の基本式。
| 公式 | 内容 | 水準 | 一行解説 |
|---|---|---|---|
| `平均(mean) = (データの総和) / (データの個数)` | 平均 | 三 | データ全体を代表する「真ん中あたりの値」。 |
| `分散 = Σ(xi-平均)² / n` | 分散 | 五 | 各データが平均からどれだけ散らばっているかを、二乗して平均したもの。 |
| `標準偏差 = √分散` | 標準偏差 | 五 | 分散のルートを取り、元のデータと同じ単位に戻したばらつきの指標。 |
| `nPr = n! / (n-r)!` | 順列(じゅんれつ、水準五: 異なるn個からr個を選び、順番も区別して並べる場合の数) | 五 | 並べる順番を区別する場合の数。 |
| `nCr = n! / (r!(n-r)!)` | 組合せ(くみあわせ、水準五: 異なるn個からr個を選ぶが、順番は区別しない場合の数) | 五 | 順番を区別しない場合の数。`nCr = nPr / r!` の関係でもある(並べ方r!通りの重複を割って消す)。 |
**階乗の一行メモ**: 階乗(かいじょう、水準四: n!=n×(n-1)×…×2×1。0!=1と定める)は「全部並べる場合の数」そのもの。順列nPrは階乗の一部だけを使う形として理解できる。
---
## 8. 図解(ASCII)
### 8.1 直角三角形とピタゴラスの定理
```
C
│╲
│ ╲
b │ ╲ c(斜辺)
│ ╲
│ ╲
└─────╲
A a B
直角はA(90°)。辺a,bが直角を挟む2辺、辺cが斜辺。
ピタゴラスの定理: a² + b² = c²
例(3-4-5の直角三角形): 3²+4² = 9+16 = 25 = 5²
```
### 8.2 円と半径・円周・面積
```
______
,-' `-.
,' `.
/ r \
| ●───────→ |
\ /
`. ,'
`-._______,-'
中心から円周までの距離が半径r。
円周の長さ: L = 2πr
円の面積: S = πr²
```
### 8.3 放物線(二次関数のグラフ・判別式との対応)
```
y
│ ╲ ╱
│ ╲ ╱
│ ╲ ╱
│ ╲ ╱
│ ╲ ╱
│ ╲╱
└──────────────────── x
頂点
y = ax²+bx+c (a>0)のグラフはU字形の放物線。
x軸との交点の個数 = 実数解の個数 = 判別式D=b²-4acの符号で決まる。
D>0: 交点2つ / D=0: 接する(交点1つ) / D<0: 交点なし
```
---
## 9. 数値検算ログ(実測)
自己検算を実施し、結果のみ断言する。
1. **3-4-5直角三角形の検算**: `a²+b² = 3²+4² = 9+16 = 25`、`c² = 5² = 25`。両辺一致(ピタゴラスの定理§2・§8.1と整合)。
2. **二次方程式の解の公式の検算**: `x²-5x+6=0` を因数分解すると `(x-2)(x-3)=0` より解は `x=2, 3`。解の公式に `a=1, b=-5, c=6` を代入すると `x=(5±√(25-24))/2=(5±1)/2` より `x=3, 2`。両者一致。
3. **円の面積の検算**: 半径r=7のとき `S=πr²≈3.14159×49≈153.94`(π≈3.14159で計算、有効数字は概数扱い)。
4. **球の体積の検算**: 半径r=3のとき `V=4/3πr³=4/3×π×27=36π≈113.10`。
5. **加法定理の検算**: `sin(90°)=sin(30°+60°)=sin30°cos60°+cos30°sin60°=(0.5)(0.5)+(√3/2)(√3/2)=0.25+0.75=1`。既知の`sin90°=1`と一致。
6. **等差数列の和の検算**: 1から10までの和は直接足すと `1+2+…+10=55`。公式 `Sn=n(a1+an)/2=10×(1+10)/2=55`。一致。
7. **等比数列の和の検算**: `1+2+4+8+16=31`。公式 `Sn=a1(rⁿ-1)/(r-1)`に`a1=1, r=2, n=5`を代入すると `(2⁵-1)/(2-1)=31/1=31`。一致。
8. **微分の検算**: `d/dx(x³)=3x²`。x=2を代入すると `3×2²=12`。
9. **積分の検算**: `∫[0→2] x² dx = [x³/3]` を代入すると `2³/3 - 0³/3 = 8/3 ≈ 2.67`。
10. **組合せ・順列の検算**: `5C2 = 5!/(2!×3!) = 120/(2×6) = 10`。`5P2 = 5!/3! = 120/6 = 20`。`5C2×2! = 10×2 = 20 = 5P2`と一致(§7の関係式どおり)。
---
## 10. 検定問題
### quiz_public(鍵なし・配布用)
以下12問。各問四択。答えの記載はなし(読者検定用)。
1. (易) `(a+b)²` を展開した正しい式はどれか。 A.`a²+b²` B.`a²+2ab+b²` C.`a²-2ab+b²` D.`a²-b²`
2. (易) 円の面積を求める公式はどれか。 A.`S=2πr` B.`S=πr²` C.`S=4πr²` D.`S=4/3πr³`
3. (易) 直角三角形において、直角を挟む2辺をa,b、斜辺をcとするとき成り立つ関係はどれか。 A.`a+b=c` B.`a²+b²=c²` C.`ab=c²` D.`a²-b²=c²`
4. (易) `sinθ` の定義として正しいものはどれか。 A.対辺/斜辺 B.隣辺/斜辺 C.対辺/隣辺 D.斜辺/対辺
5. (中) 二次方程式 `x²-5x+6=0` の解として正しい組はどれか。 A.x=1,6 B.x=2,3 C.x=-2,-3 D.x=1,5
6. (中) 指数法則 `aᵐ×aⁿ` を正しく表す式はどれか。 A.`a^(m+n)` B.`a^(m-n)` C.`a^(mn)` D.`a^(m/n)`
7. (中) 等比数列の和の公式 `Sn=a1(rⁿ-1)/(r-1)` について、初項1・公比2・項数5のときの和はいくらか。 A.16 B.31 C.32 D.63
8. (中) 組合せ `nCr` を階乗で表した正しい式はどれか。 A.`n!/(n-r)!` B.`n!/r!` C.`n!/(r!(n-r)!)` D.`r!/n!`
9. (難) 球の体積の公式として正しいものはどれか。 A.`V=πr²` B.`V=4πr²` C.`V=4/3πr³` D.`V=⅓πr²h`
10. (難) 加法定理 `sin(α+β)` の正しい展開はどれか。 A.`sinαcosβ+cosαsinβ` B.`sinαcosβ-cosαsinβ` C.`cosαcosβ-sinαsinβ` D.`sinαsinβ+cosαcosβ`
11. (難) 微積分学の基本定理に関する説明として正しいものはどれか。 A.微分と積分は無関係な演算である B.`∫xⁿdx=x^(n-1)/(n-1)`である C.原始関数F(x)を使い`∫[a→b]f(x)dx=F(b)-F(a)`で定積分が求まる D.積分定数Cは定積分にも必ず付く
12. (難) 分散と標準偏差の関係として正しいものはどれか。 A.標準偏差=分散² B.分散=√標準偏差 C.分散と標準偏差は常に等しい D.標準偏差=√分散
### answers(鍵・根拠つき・非公開)
| 問 | 正解 | 根拠(本文箇所) |
|---|---|---|
| 1 | B | §1代数の公式集の表(`(a+b)² = a²+2ab+b²`の行) |
| 2 | B | §2幾何の公式集の表(円の面積・`S = πr²`の行) |
| 3 | B | §2幾何の公式集の表(ピタゴラスの定理・`a²+b²=c²`の行)、§8.1図解と整合 |
| 4 | A | §3三角比の公式集の表(正弦・`sinθ = 対辺/斜辺`の行) |
| 5 | B | §9数値検算ログ2: 「より解は `x=2, 3`」 |
| 6 | A | §4指数・対数の公式集の表(指数法則・積・`aᵐ × aⁿ = a^(m+n)`の行) |
| 7 | B | §9数値検算ログ7: 「`(2⁵-1)/(2-1)=31/1=31`」 |
| 8 | C | §7確率統計の公式集の表(組合せ・`nCr = n! / (r!(n-r)!)`の行) |
| 9 | C | §2幾何の公式集の表(球の体積・`V=4/3πr³`の行)、§9検算4も参照 |
| 10 | A | §3三角比の公式集の表(正弦の加法定理・`sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ`の行) |
| 11 | C | §6微積分の基本公式集の表(定積分・微積分学の基本定理の行) |
| 12 | D | §7確率統計の公式集の表(標準偏差・`標準偏差 = √分散`の行) |
**分散チェック(outputs/node_test_book0205.jsで実測)**: 正解インデックス内訳は下記機械検査で実測する(規定§16.4: 最大6問以内・最低3種のindex使用)。
---
## 改訂履歴
- 2026-07-04 v1.0 初版起草(史料図書隊・Sonnet 5執筆 / Fable 5監修)
# BOOK-0205 数学史料 — 公式と定理の早見