※小説ではない※専門書 要約資料集 為替(換算)3.9万円でもらう 紐解集生成 専門 初入門 資料 作：｛作者名｝
> 現代学問宇宙図鑑・達人技シリーズ(§16.18達人技の水準拡張)第2弾・第1冊。ガイド役: Fable 5 監修 / Sonnet 5 執筆(発見リード班)。
> 出典規律: SYSTEM.md §16.5準拠(本文は自前で組み立てる。パブリックドメインの定理・古典計算法のみ出典明記で利用)。
> 接続先: BOOK-0201(暗算と数桁掛け算)/ BOOG-0202(割り算と因数分解の型)/ BOOK-0203(製図)/ BOOK-0204(回路図) — 本冊はこの4冊の技を「越境」させた応用編。発見の経緯・不採用候補の記録は gakumon/TATSUJIN_DISCOVERY.md を参照。
> 型の約束: 各技は必ず【技名/水準/材料/工程/なぜ効くか/限界】の順で書く(§16.21三実践解の型を踏襲)。数値例はすべて自己検算済み(実測)。
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# BOOK-0211 達人術その2 — 越境の技(数×工学)
> 現代学問宇宙図鑑・達人技シリーズ(§16.18達人技の水準拡張)第2弾・第1冊。ガイド役: Fable 5 監修 / Sonnet 5 執筆(発見リード班)。
> 出典規律: SYSTEM.md §16.5準拠(本文は自前で組み立てる。パブリックドメインの定理・古典計算法のみ出典明記で利用)。
> 接続先: BOOK-0201(暗算と数桁掛け算)/ BOOG-0202(割り算と因数分解の型)/ BOOK-0203(製図)/ BOOK-0204(回路図) — 本冊はこの4冊の技を「越境」させた応用編。発見の経緯・不採用候補の記録は gakumon/TATSUJIN_DISCOVERY.md を参照。
> 型の約束: 各技は必ず【技名/水準/材料/工程/なぜ効くか/限界】の順で書く(§16.21三実践解の型を踏襲)。数値例はすべて自己検算済み(実測)。
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## 序 — なぜ「越境」が達人技のカタログLv2なのか
BOOK-0201・0202・0203・0204は、それぞれ独立した分野(数学の暗算・数学の割り算と因数分解・工学の製図・工学の回路図)の中で完結した達人技だった。これらを**カタログLv1**と呼ぶ。だがよく観察すると、暗算の技(交差法・差の平方)は「掛け算という演算」に対する早業であり、回路の合成抵抗の計算(R1×R2)もまた「掛け算」を含んでいる。演算の中身が同じであれば、片方の分野で磨かれた技をもう片方へそのまま持ち込めるはずだ——これが**越境応用**という発想である。
本冊は、この越境が実際に成立するかどうかを、総当たりで検討し、**成り立つものだけ**を新しい達人技として収録した記録である(発見の全過程はTATSUJIN_DISCOVERY.mdに記録済み)。成立しなかった候補も「なぜ成立しないか」を明記することで、誇張(何にでも使えると言い張ること)を避けている。これは§16.5出典規律の精神——「不確実なことは正直に明記する」——を、越境応用の判定そのものに適用したものである。
水準表記は§16.18の熟練部・達人部の区分に従う。本冊の技は水準十四〜二十二の範囲に位置する(基礎の暗算技=水準十三前後より一段上の「越境という発想」自体に一手間かかるため)。
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## 第一部: 交差法の越境 — 掛け算の速さは分野を選ばない
### 技1: 交差法転用(積の暗算・回路版) — 並列合成抵抗の分子を暗算する
**水準**: 十五(交差法・BOOK-0201技6の直接転用)
**材料**: 交差法(BOOK-0201技6)の理解、並列合成抵抗の「積÷和」の式(BOOK-0204技9)。
**工程**:
```
段階1: 並列2本の抵抗R1・R2の合成抵抗を「積÷和」の式で求めると決める
R合 = (R1×R2) ÷ (R1+R2)
段階2: 分子R1×R2の部分に交差法(2桁×2桁の暗算)を適用する
段階3: 分母R1+R2は単純な足し算で求める
段階4: 分子を分母で割って合成抵抗を得る
```
**数値例(自己検算)**: R1=23Ω、R2=45Ωの並列合成抵抗を求める。
まず分子(交差法): `23×45` をA=2,B=3,C=4,D=5として交差法で計算する。
- 一の位どうし: B×D=3×5=15 → 一の位5、繰り上げ1
- 交差の和: A×D+B×C=2×5+3×4=10+12=22、繰り上げ1で23 → 十の位3、繰り上げ2
- 十の位どうし: A×C=2×4=8、繰り上げ2で10
- 並べると 1,0,3,5 → **1035**
検算: `23×45 = 920+115 = 1035`。一致。
分母(足し算): `23+45 = 68`
合成抵抗: `R合 = 1035 ÷ 68 ≒ 15.22Ω`
**なぜ効くか**: 交差法(BOOK-0201技6)は「2桁×2桁の掛け算を3つの部分積に分けて合成する」という、演算の中身にしか依存しない技である。抵抗値であろうと単なる整数であろうと、掛け算という操作そのものは変わらないため、回路の分野に技を持ち込んでも成立する。これは§16.18が想定する「越境応用」の最も単純で確実な例であり、演算の対象(数の意味)が変わっても演算の構造(交差の手順)が不変であることを示している。
**限界**: 交差法自体の限界(3桁以上で暗算負荷が急増する)がそのまま持ち込まれる。抵抗値が3桁になる場合(例: 100Ω台同士の並列)は、交差法よりも次の技2(差の平方転用)や電卓計算に切り替えるほうが安全。
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### 技2: 差の平方転用(近似抵抗の積暗算) — 平均と半差で並列抵抗を解く
**水準**: 十六(差の平方・BOOK-0201技8の直接転用)
**材料**: 差の平方(BOOK-0201技8、`a²−b²=(a+b)(a−b)`の逆利用)、並列合成抵抗の積÷和の式。
**工程**:
```
段階1: 並列2本の抵抗R1・R2の平均値a=(R1+R2)/2を求める
段階2: 平均からの差(半差)b=a−R2(またはR1−a)を求める
段階3: a²とb²を計算する
段階4: a²−b²が積R1×R2の値になる
段階5: 分母(R1+R2)で割って合成抵抗を得る
```
**数値例(自己検算)**: R1=48Ω、R2=52Ωの並列合成抵抗を求める。
- 平均 a = (48+52)/2 = 50
- 半差 b = 52−50 = 2
- a² = 2500
- b² = 4
- 積 = 2500−4 = **2496**
検算: `48×52 = 48×50+48×2 = 2400+96 = 2496`。一致。
分母: `48+52 = 100`
合成抵抗: `R合 = 2496 ÷ 100 = 24.96Ω`
**なぜ効くか**: 技1の交差法と同じく、差の平方(BOOK-0201技8)も「掛け算を2乗2回と引き算1回に変換する」という演算構造そのものへの技であり、対象が抵抗値でも成立する。特に**E系列の隣接抵抗**(規格化された抵抗値の並びで、値が近いもの同士)を並列にする場面では、R1とR2の差が小さくなるため半差bが小さく、暗算がいっそう速くなる。差の平方は「2数が近い値であるほど有利」という技1にはない特性を持ち、実務での抵抗選定(近い値を並列にしてちょうどよい合成抵抗を作る)と相性がよい。
**限界**: 技1の限界と同じく、2数の平均がキリのよい数にならない場合(例: 平均が37のような数)は a² の計算自体が重くなる。また2数の差が大きい組み合わせ(例: 10Ωと1000Ω)には向かず、その場合は技1(交差法)や通常の逆数和計算に切り替えるべきである。
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## 第二部: 倍数判定・素因数分解の越境 — 「割り切れるか」を見抜く目は分野を貫く
### 技3: 倍数判定によるGCD/LCM絞り込み(回路等価変換の前処理)
**水準**: 十四(倍数判定法・BOOK-0202技1〜3の応用。ただし単独では完結しない条件付き技)
**材料**: 倍数判定法(BOOK-0202技1〜3、2・3・4・5・8・9・11の倍数を桁だけ見て判定)、複数の抵抗値。
**工程**:
```
段階1: 複数の抵抗値(例: 3本以上の並列)を用意する
段階2: 各抵抗値に倍数判定法(下1桁・桁の和など)を当て、共通する小さい約数の候補(2,3,5等)を素早く絞り込む
段階3: 絞り込んだ候補をもとに、次の技4(素因数分解)で最終的な最大公約数・最小公倍数を確定する
段階4: 確定したGCD/LCMを使って、等価な単純回路(合成抵抗のまとめ)に変換する
```
**数値例(自己検算)**: 抵抗12Ω・18Ω・24Ωの並列合成抵抗を求める前段階として、共通の約数を絞り込む。
- 12: 一の位2 → 2の倍数(技1)。桁の和1+2=3 → 3の倍数(技2)。
- 18: 一の位8 → 2の倍数。桁の和1+8=9 → 3の倍数(9の倍数でもある)。
- 24: 一の位4 → 2の倍数。桁の和2+4=6 → 3の倍数。
3本とも2の倍数・3の倍数であることが桁だけ見て即座にわかる(実際に割り算をしていない)。これでGCDは「少なくとも6以上」まで絞り込める。
**なぜ効くか**: 倍数判定法(BOOK-0202技1〜3)は「実際に割らずに割り切れるかを見抜く」という、演算そのものを省略する技である。この省略の効果は対象が抵抗値でも整数一般でも変わらない。複数の抵抗を扱う回路設計の場面で、まず倍数判定で「候補を削る」ことにより、次段階の素因数分解(技4)にかける手間を減らせる。
**限界**: 倍数判定法は「割り切れるかどうか」を教えるだけで、最終的なGCD・LCMの値そのものは求まらない。実際に`GCD(12,18,24)=6`・`LCM(12,18,24)=72`を確定させるには、技4(素因数分解)まで踏み込む必要がある。本技はあくまで「探索範囲を削る前処理」であり、単独では完結しない条件付き成立の技であることを明記する。
**参考(検算)**: `12=2²×3`、`18=2×3²`、`24=2³×3` より GCD=2×3=6、LCM=2³×3²=72。並列合成抵抗は `1/12+1/18+1/24 = 6/72+4/72+3/72 = 13/72` より `R合=72/13≒5.54Ω`。
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### 技4: 素因数分解による尺度選定(製図)
**水準**: 十七(素因数分解の手順・BOOK-0202技11の転用)
**材料**: 素因数分解の手順(BOOK-0202技11、小さい素数から順に試し割り)、製図の尺度(BOOK-0203第四章、実物と図面の比率)、紙面の許容最大寸法。
**工程**:
```
段階1: 図面に描きたい部品の実寸(最大寸法)を確認する
段階2: 使える紙面の許容最大寸法を確認する
段階3: 実寸を素因数分解し、規格尺度(1:2, 1:4, 1:5, 1:10など、2と5の倍数で構成される比率が多い)の約数と照合する
段階4: 紙面に収まる範囲で、最も余白の少ない(最も大きく描ける)尺度を選ぶ
```
**数値例(自己検算)**: 実寸840mmの部品を、許容最大200mmの紙に収めたい。
まず840を素因数分解する(技11の手順どおり、小さい素数から試し割り):
```
840
├─ 2で割れる → 420
│ ├─ 2で割れる → 210
│ │ ├─ 2で割れる → 105
│ │ │ ├─ 105は奇数、2で割れない
│ │ │ ├─ 桁の和1+0+5=6、3の倍数 → 35
│ │ │ │ ├─ 35は3で割れない(桁の和3+5=8は3の倍数ではない)
│ │ │ │ ├─ 5で割れる(一の位5) → 7
│ │ │ │ │ ├─ 7は素数そのもの(終了)
```
まとめると `840 = 2×2×2×3×5×7`。検算: `2×2=4, 4×2=8, 8×3=24, 24×5=120, 120×7=840`。一致。
規格尺度の候補で試す:
- 1:2 → 840÷2=420mm(200mm超過・不適)
- 1:4 → 840÷4=210mm(200mm超過・不適)
- 1:5 → 840÷5=168mm(200mm以内・適合)
- 1:10 → 840÷10=84mm(200mm以内・適合だが余白が大きい)
840の素因数に5が含まれている(`840=2³×3×5×7`)ため、5で割り切れることが構造的に保証されており、`1:5`が「200mm以内に収まる最大の規格尺度」だと機械的に確定できる。
**なぜ効くか**: 素因数分解(BOOK-0202技11)は「数を最小部品まで分解する」技であり、これによって実寸が「どの規格尺度で割り切れるか」が一覧できる。倍数判定(技3)だけでは「2の倍数・5の倍数である」ことはわかっても、どの尺度が紙面に最も効率よく収まるかまでは判定できない——素因数分解まで踏み込むことで、規格尺度の候補すべてに対する適合・不適合が一度に確定する。これはBOOK-0202技12(素因数分解を約分・因数分解の最終確認に使う)と同じ「確実だが手間のかかる最終手段」の役割を、製図の尺度選定という新しい場面で担わせたものである。
**限界**: 実寸の素因数に2・5・3以外の大きな素数(例: 7・11・13など)しか含まれない場合、規格尺度にきれいに収まらず、概算で丸めた尺度(BOOK-0203技「尺度の選び方」参照)に頼らざるを得ない。本技は「実寸が規格尺度の素因数と一致する幸運なケース」で威力を発揮する技であり、常に厳密な適合尺度が見つかるわけではない。
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## 第三部: たすきがけの越境 — 逆問題を解く型(条件付き成立)
### 技5: 和積既知の二次方程式化+たすきがけ(混合回路の逆算・限定条件版)
**水準**: 二十二(たすきがけ・BOOK-0202技10の応用。適用条件が限定される条件付き成立の技)
**材料**: たすきがけ(BOOK-0202技10、`ax²+bx+c`の因数分解)、二次方程式の解の公式(WAZA-0001技2)、直列2本の抵抗の和と積が両方既知であるという特別な条件。
**工程**:
```
段階1: 直列2本の抵抗R1・R2について、和(R1+R2)と積(R1×R2)が両方既知だと仮定する
段階2: x²−(和)x+(積)=0 という二次方程式を立てる
段階3: たすきがけ、または和と積の探索(WAZA-0001技3)でこの二次方程式を因数分解する
段階4: 因数分解の結果からR1・R2それぞれの値を確定する
```
**数値例(自己検算)**: ある直列回路で、2本の抵抗の和が20Ω、積が91であることが(何らかの測定・設計条件から)既知だとする。R1・R2それぞれの値を求めたい。
二次方程式を立てる: `x² − 20x + 91 = 0`
和と積の探索(WAZA-0001技3の型)で因数の組を探す: 積91になる組を探すと `7×13=91`、その和は `7+13=20` で一致する。
よって `x² − 20x + 91 = (x−7)(x−13) = 0`。解は `x=7` または `x=13`。
すなわち **R1=7Ω、R2=13Ω**(順序はどちらでもよい)。
検算: `7+13=20`(和と一致) ✓、`7×13=91`(積と一致) ✓。さらに直列合成抵抗として `7+13=20Ω` になることも技8(BOOK-0201・直列の合成抵抗の足し算則と同義)と整合する。
**なぜ効くか**: 「2数の和と積が両方既知のとき、その2数は二次方程式`x²−(和)x+(積)=0`の解として一意に求まる」という代数的事実(解と係数の関係)を利用している。たすきがけ(BOOK-0202技10)や和と積の探索(WAZA-0001技3)は本来「式の因数分解」のための技だが、「未知の2値を、既知の和と積から復元する」という**逆問題**にもそのまま転用できる。これは、達人技どうしが「正方向の計算」だけでなく「逆方向の復元」にも使い回せることを示す好例である。
**限界**: この技が成立するのは**和と積の両方が既知の場合に限られる**、という強い制約がある。実務の回路測定では「直列全体の合成抵抗(=和)」は測れても、個々の抵抗の積を直接知る手段は限られており、和だけが既知で積は未知という状況のほうが普通である。そのため本技は「和・積が両方判明する特殊な設計・検証の場面」に限定される条件付き成立の技であり、あらゆる混合回路の逆算に万能に使えるわけではないことを明記する。また判別式(`和²−4×積`)が負になる、または平方数にならない組み合わせでは、整数解のたすきがけでは解けず、解の公式(WAZA-0001技2)まで踏み込む必要がある。
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## 応用グラフ(越境の系譜)
```
BOOK-0201(暗算) BOOK-0202(割り算・因数分解)
├─ 技6交差法 ──────┐ ├─ 技1-3倍数判定法 ──┐
└─ 技8差の平方 ─────┼─→ 技1・技2 │ ├─→ 技3(条件付き・GCD/LCM前処理)
│ (回路の積暗算)│ │
│ ├─ 技11素因数分解 ───┼─→ 技4(製図の尺度選定)
│ │ │
│ └─ 技10たすきがけ ───┴─→ 技5(条件付き・混合回路逆算)
│
BOOK-0204(回路図) │
積÷和の式 ──────┘
BOOK-0203(製図)
尺度の選び方 ────────────────────────────────┘
```
技1・技2(交差法・差の平方の回路転用)は「積を暗算する」という演算構造がそのまま移植できる**確実な越境**である。技3(倍数判定によるGCD/LCM前処理)と技5(たすきがけの逆問題転用)は、単独では完結しない・適用条件が限定されるという**条件付きの越境**であり、その限界を隠さず明記した。技4(素因数分解による尺度選定)は、数論の分解操作が工学の規格照合にそのまま使える**構造一致の越境**である。不成立と判定した候補(9倍・99倍型の分圧比・縮尺への適用、概算検算の重複適用)はTATSUJIN_DISCOVERY.mdに記録し、本冊には収録していない。
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## 用語集(初出水準つき)
- **越境応用**(本冊で導入する語・水準十四): ある分野で確立した技を、演算・構造が一致する別分野へ持ち込んで使うこと。
- **交差法**(水準二十・BOOK-0201既出): 2桁×2桁の掛け算を3つの部分積に分けて計算する方法。
- **差の平方**(水準三十・BOOK-0201既出): `a²−b²=(a+b)(a−b)`という、平方の差を2数の積に変換できる関係。
- **並列合成抵抗**(水準四・BOOK-0204既出): 複数の抵抗を並列につないだときの、全体をまとめた1つの抵抗値。
- **倍数判定法**(水準十三・BOOK-0202既出): 実際に割らずに割り切れるかを桁だけ見て判定する方法。
- **素因数分解**(水準十四・BOOK-0202既出): 整数を素数の掛け合わせとして分解すること。
- **尺度**(水準二・BOOK-0203既出): 図面上の大きさと実物の大きさの比率。
- **たすきがけ**(水準十六・BOOK-0202既出): 係数が1でない二次式を線でつないで探索する因数分解の型。
- **解と係数の関係**(本冊で導入する語・水準二十二): 2数の和と積が既知なら、その2数は二次方程式の解として一意に求まるという代数的事実。
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## quiz_public(検定問題・12問・易4/中4/難4)
### quiz_public
1. (易) 交差法を並列抵抗の合成に使うとき、暗算するのは「積÷和」の式のどちらの部分か。 A.和の部分 B.積の部分 C.両方同時 D.どちらでもない
2. (易) 差の平方の技で、R1=48Ω、R2=52Ωの積を求めるときの「半差」はいくつか。 A.1 B.2 C.4 D.50
3. (易) 素因数分解による尺度選定で、実寸840mmを素因数分解した結果として正しいものはどれか。 A.2×2×2×3×5×7 B.2×2×3×3×5×7 C.2×3×5×5×7 D.2×2×2×3×3×7
4. (易) 倍数判定によるGCD/LCM絞り込み(技3)は単独で何を確定できるか。 A.LCMの値そのもの B.抵抗の合成値そのもの C.候補となる小さい約数の絞り込みのみ D.最終的なGCDの値そのもの
5. (中) R1=23Ω、R2=45Ωの並列合成抵抗を交差法で求めるとき、分子(積)はいくつになるか。 A.968 B.1035 C.1104 D.1150
6. (中) 実寸840mmを許容200mmの紙に収める尺度選定で、最も余白が少なく(大きく描け)かつ収まる規格尺度はどれか。 A.1:2 B.1:4 C.1:5 D.1:10
7. (中) 技5(和積既知の二次方程式化)で、和20・積91のとき、R1・R2はそれぞれいくつになるか。 A.5と15 B.8と12 C.7と13 D.9と11
8. (中) 技3(倍数判定によるGCD/LCM絞り込み)が単独では完結しない理由として正しいものはどれか。 A.倍数判定法自体が誤りだから B.抵抗値には使えないから C.回路には応用できないから D.判定法は割り切れるかどうかしか示さず最終値は素因数分解が必要だから
9. (難) 技5が「条件付き成立」とされる最大の理由は何か。 A.たすきがけの計算が複雑すぎるから B.二次方程式が必ず解を持たないから C.直列回路には和の概念がないから D.実務では和と積が両方既知になる場面が稀だから
10. (難) R1=48Ω、R2=52Ωの並列合成抵抗を差の平方の技で求めるとき、最終的な合成抵抗の値に最も近いものはどれか。 A.約20.8Ω B.約22.9Ω C.約24.96Ω D.約26.1Ω
11. (難) 抵抗12Ω・18Ω・24Ωの並列合成抵抗の正しい値はどれか。 A.約4.36Ω B.約6.67Ω C.約8.0Ω D.約5.54Ω
12. (難) TATSUJIN_DISCOVERY.mdの記録によれば、「9倍・99倍型(10ⁿ−N)を分圧比・縮尺へ応用する」候補が不成立とされた理由はどれか。 A.分圧比・縮尺の数値例が存在しなかったから B.回路と製図では単位が異なるから C.検算する時間が足りなかったから D.分圧比は除算構造・縮尺は表記であり、10ⁿ倍から元を引くという演算対象が存在しないから
### answers
| 問番号 | 正解 | 根拠 |
|---|---|---|
| 1 | B | 「分子R1×R2の部分に交差法(2桁×2桁の暗算)を適用する」 |
| 2 | B | 「半差 b = 52−50 = 2」 |
| 3 | A | 「まとめると `840 = 2×2×2×3×5×7`」 |
| 4 | C | 「倍数判定法は「割り切れるかどうか」を教えるだけで、最終的なGCD・LCMの値そのものは求まらない」 |
| 5 | B | 「並べると 1,0,3,5 → **1035**」 |
| 6 | C | 「1:5 → 840÷5=168mm(200mm以内・適合)」で最も余白が少ない |
| 7 | C | 「`x² − 20x + 91 = (x−7)(x−13) = 0`。解は `x=7` または `x=13`」 |
| 8 | D | 「倍数判定法は「割り切れるかどうか」を教えるだけで、最終的なGCD・LCMの値そのものは求まらない」 |
| 9 | D | 「実務の回路測定では…和だけが既知で積は未知という状況のほうが普通である」 |
| 10 | C | 「合成抵抗: `R合 = 2496 ÷ 100 = 24.96Ω`」 |
| 11 | D | 「`R合=72/13≒5.54Ω`」 |
| 12 | D | 「不成立と判定した候補(9倍・99倍型の分圧比・縮尺への適用、概算検算の重複適用)はTATSUJIN_DISCOVERY.mdに記録し、本冊には収録していない」 |
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## 出典・系譜(§16.5準拠)
本冊で扱った越境応用(交差法・差の平方の回路転用、倍数判定・素因数分解の製図/回路転用、たすきがけの逆問題転用)は、いずれもBOOK-0201・0202・0203・0204で既に確立された数学的技法(分配法則・因数分解公式・素因数分解・第三角法の投影論・オームの法則)を、演算構造が一致する範囲で組み合わせ直したものであり、特定の書籍・サイトの文章を転載していない。解と係数の関係(2数の和と積から二次方程式を立てる)は代数学の確立された標準的事実であり、特定の原著作権を持たない。数値例はすべて本文中で実際に計算し、自己検算済みである。越境判定の詳細な過程(不採用候補を含む)はgakumon/TATSUJIN_DISCOVERY.mdに記録している。
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## 改訂履歴
- 2026-07-04 v1.0 初版執筆(Sonnet 5・達人術発見リード班・BOOK-0211予約枠)。技1〜5(交差法・差の平方の回路転用、倍数判定・素因数分解の応用、たすきがけの逆問題転用)・quiz12問(易4中4難4)を収録。発見の全過程はTATSUJIN_DISCOVERY.mdを参照。
# BOOK-0211 達人術その2 — 越境の技(数×工学)