異変未満の午後 ～ Tea, Cola, Math and a Little Practice

7. 整数論と氷の妖精

　大妖精は、氷の湖のほとりで足を止めた。

　チルノがいた。

　それ自体は珍しくない。チルノはだいたい湖のほとりにいる。氷を作ったり、蛙を凍らせたり、強い自分について考えたりしている。

　ただ、その日のチルノは地面に枝で何かを書いていた。

　数字だった。しかも、妙に多い。

　数日前、湖の近くで外の世界の数学書を一冊拾ったらしい。どういう経緯で幻想入りしたのかは分からない。最初から最後まで読んだわけでもない。連続だの極限だのと書いてある辺りは「ぐにゃぐにゃしていて分かりにくい」と早々に投げた。

　ただ、整数の章だけは妙に気に入った。

　数が一つずつ、きっちり分かれているからだという。

「チルノちゃん？」

　大妖精が声をかけても、チルノは振り向かなかった。

「待って。今、いいところ」

　チルノは真剣な顔で、地面にこう書いた。

　５，１３，１７，２９，３７，４１……

　それから、少し離れた場所に別の列を書く。

　３，７，１１，１９，２３，３１，４３，４７……

　大妖精は首をかしげた。

「えっと……数を数えてるの？」

「違うよ。素数を、四で割った余りで分けてる」

「よんでわったあまり」

「そう」

　チルノは枝の先で、最初の列を指した。

「素数って、１と自分でしか割れない数でしょ。２、３、５、７、１１、１３、１７……」

「う、うん。そこまでは、なんとなく」

「で、奇数の素数は、四で割ると必ず余りが１か３になる。だって偶数じゃないから」

「うん？」

「５は４で割ると１余る。７は３余る。１１も３余る。１３は１余る」

「うん……？」

「ここまでは簡単」

　大妖精には、すでに少し簡単ではなかった。

　チルノはさらに地面へ大きく書いた。

　５＝１²＋２²

　１３＝２²＋３²

　１７＝１²＋４²

　２９＝２²＋５²

　３７＝１²＋６²

　４１＝４²＋５²

「見て」

「見てるよ」

「四で割って１余る素数は、二つの平方数の和で表せる」

「へいほうすう」

「同じ数を二回かけたやつ。１、４、９、１６、２５、３６。氷の四角みたいな数」

　チルノは得意げに胸を張った。

「たとえば１３は、４＋９。つまり２²＋３²。１７は１＋１６。つまり１²＋４²」

「へえ……」

「でも７はできない。７＝１＋６だけど６は平方数じゃない。４＋３でもだめ。１１もだめ。１９もだめ」

　チルノは最初に書いた、もう一方の列を指した。

　３，７，１１，１９，２３，３１，４３，４７……

「こっちは四で割って３余る素数。こいつらは、二つの平方数の和にできない」

　大妖精は、じわじわ不安になってきた。

　これはチルノだろうか。

　見た目はチルノだ。羽もある。青い。偉そう。地面に座っている。間違いなくチルノだ。

　でも、言っていることがチルノではない。

「チルノちゃん」

「なに？」

「おかしくなっちゃったの？」

「なってないよ」

「巫女に相談しなくちゃ」

「なんで霊夢が出てくるのさ」

「だって、異変かもしれない」

「異変じゃないよ。数論だよ」

「すうろん」

「整数の話」

　チルノは地面の数字を指でなぞった。

「解析より分かりやすいよ。数が一個ずつカチッとしてる。凍ってるみたいでしょ」

「解析ってなに？」

「連続とか極限とか測度とか」

「そくど」

「あのルベーグとかいうやつの話は、よく分からない」

　チルノは心底嫌そうな顔をした。

「区間を切ったり、変な集合を測ったり、ほとんど至る所とか言い出したりする。何なの、ほとんどって。全部じゃないなら全部じゃないって言えばいいのに」

「チルノちゃん、なんにも分からないよ」

「あたいもルベーグはよく分からない」

「そこじゃないよ」

「あたいは連続じゃないと嫌だ。いや、連続も嫌だ。整数がいい。整数は途中で溶けない」

　大妖精は両手を胸の前で握った。

「でも、チルノちゃんが難しいこと言ってる」

「難しくないよ。たとえば、こう」

　チルノは地面に円を描いた。いや、円というより、氷の輪のようなものだった。その中に点をいくつか打つ。

「平方数の和って、こういうこと。５＝１²＋２²なら、横に１、縦に２進んだ点までの距離の二乗が５」

「距離？」

「ほら、三角形。横１、縦２。斜めの長さの二乗が１²＋２²で５」

「斜めの長さは？」

「√５」

「るーと」

「そこは気にしない。大事なのは、整数の格子点で考えること」

　チルノはまた枝を動かした。

「で、四で割って３余る素数が、もし二つの平方数の和になったとする」

　７＝ａ²＋ｂ²

「平方数を４で割った余りは、０か１しかない」

「どうして？」

「偶数なら、二乗しても４で割り切れる。たとえば２²＝４、４²＝１６。余り０。奇数なら、二乗すると４で割って１余る。１²＝１、３²＝９、５²＝２５」

　大妖精は指を折って数えた。

「ほんとだ。９は４で割ると１余る」

「でしょ。だから、二つの平方数の和を４で割ると、余りは０、１、２のどれかにしかならない。０＋０、０＋１、１＋１」

「３にならない」

「そう！」

　チルノはぱっと顔を輝かせた。

「だから、４で割って３余る数は、二つの平方数の和にはならない。７も１１も１９も２３もだめ」

「それは……分かったかも」

「でしょ！」

　大妖精は少し安心した。

　チルノがおかしいことはおかしい。でも、言っていることの一部は、確かに分かる。少なくとも、完全に異変という感じではない。

「じゃあ、４で割って１余る素数は、全部そうなるの？」

「そう」

「ほんとに？」

「ほんと。フェルマーの二平方和定理」

「ふぇるまー」

「外の世界の強いやつ」

「妖精？」

「たぶん人間」

「人間なのに強いんだ」

「数では強い」

　チルノは自信満々に言った。

「ただし、証明はちょっと難しい」

「チルノちゃんでも？」

「あたいでも」

「じゃあ難しいね」

「でも、雰囲気は分かる」

　チルノは枝で新しい式を書いた。

　（ａ²＋ｂ²）（ｃ²＋ｄ²）＝（ａｃ−ｂｄ）²＋（ａｄ＋ｂｃ）²

「見て。二つの平方数の和どうしをかけると、また二つの平方数の和になる」

　大妖精は式を見た瞬間、目が泳いだ。

「チルノちゃん、なんにも分からないよ」

「大ちゃん、逃げないで。ここ大事」

「逃げてないよ。心が少し遠くに行っただけ」

「戻ってきて」

　チルノは式の横に具体例を書いた。

　５＝１²＋２²

　１３＝２²＋３²

　５×１３＝６５

　そして、

　６５＝１²＋８²

　６５＝４²＋７²

「「ほら。今の式に１、２、２、３を入れると、６５＝４²＋７²になる」

「ほんとだ。１６＋４９で６５」

「そう。で、足すところと引くところを反対にすると、今度は６５＝１²＋８²にもなる」

「１と８でも６５……ほんとだ」

「同じ５と１３なのに、二つあるんだよ」

「二つあるんだ」

「そう。ここが面白い。表し方が増える」

　チルノは楽しそうだった。

　大妖精は、その顔を見て、少しだけ安心した。

　難しいことを言っているけれど、チルノはチルノだった。自分が強いと思ったものを見つけて、得意げにしている。蛙を凍らせる代わりに、今は数字を凍らせて並べているだけだ。

「でも、どうして急にそんなことを？」

　大妖精が聞くと、チルノは胸を張った。

「あたいは気づいたんだよ」

「何に？」

「⑨って言われるけど、９は平方数なんだよ」

「うん」

「しかも、９＝３²。強い」

「強いの？」

「強い。しかも９＝０²＋３²でもある」

「ゼロも使うの？」

「使っていいでしょ。ゼロだって整数だよ」

「そうだね」

「それに、９は４で割ると１余る」

「それもそうだね」

「平方数で、二つの平方数の和にもなって、４で割ると１余る」

　チルノは真剣な顔で言った。

「つまり⑨は強い側」

「何の側？」

「強い側」

「そっか」

　大妖精はもう、深く考えるのをやめた。

　その時、湖の向こうから霊夢が歩いてきた。手には新聞を持っている。どうやら文々。新聞の記事に何か余計なことが書かれていたらしい。

「何してるの？」

　霊夢が聞いた。

　大妖精はぱっと立ち上がった。

「霊夢さん！　チルノちゃんが！」

「また何か凍らせたの？」

「数論を！」

「数論を凍らせたの？」

「違うよ！」

　チルノは不満そうに頬を膨らませた。

「二平方和定理を考えてたの！」

　霊夢は地面の式を見た。

　しばらく黙った。

　そして、ゆっくり大妖精の方を見た。

「異変？」

「やっぱり異変ですか？」

「いや……」

　霊夢は難しい顔をした。

「異変というには、被害がないわね」

「大ちゃんが混乱してる」

「それはいつものことじゃない？」

「いつもじゃないよ！」

　大妖精は抗議した。

　霊夢はチルノの書いた数字をもう一度眺めた。

「で、あんたは何をしたいの？」

「素数の性質を調べる」

「蛙は？」

「今はいい」

「氷は？」

「あとでやる」

「なら、まあ、放っておいていいんじゃない？」

　大妖精は驚いた。

「いいんですか？」

「本人が楽しそうだし。神社に被害がないし。賽銭箱も壊してないし」

「でもチルノちゃんが賢そうです」

「賢そうなだけなら、異変じゃないわ」

　チルノがむっとした。

「賢そうじゃなくて賢いの！」

「はいはい」

「霊夢も聞く？　平方数を４で割った余りは０か１しかないんだよ」

「それは分かるわ」

「じゃあ、４で割って３余る素数は二つの平方数の和にならない」

「それもまあ、分かる」

「でも４で割って１余る素数は全部なる」

「そこは急に分からないわね」

「でしょ！」

　チルノは嬉しそうに笑った。

「そこが強いんだよ！」

　霊夢はため息をついた。

「強いの基準が分からないけど、まあいいわ」

　大妖精はまだ心配そうにチルノを見ていた。

「チルノちゃん、本当に大丈夫？」

「大丈夫。あたいは最強だから」

「いつものチルノちゃんだ」

「ただし、今日は数論でも最強」

「それはいつもじゃない」

　霊夢は新聞を畳み、湖の方へ歩き出した。

「異変じゃないなら帰るわ。数で神社を壊さないでよ」

「壊さないよ。整数は壊れない」

「そういう問題じゃないわ」

　霊夢が去ったあと、チルノはまた地面に向かった。

　大妖精は隣に座った。

「ねえ、チルノちゃん」

「なに？」

「私にも、もう一回だけ教えて」

「いいよ」

　チルノは枝で、ゆっくり書いた。

　平方数を４で割ると、余りは０か１。

　だから二つ足しても、余りは０、１、２。

　だから４で割って３余る数は、二つの平方数の和になれない。

　大妖精は、今度は少しだけ分かった。

「じゃあ、７はだめ」

「そう」

「１１もだめ」

「そう」

「１３は、４と９だからできる」

「そう！」

　チルノは嬉しそうに笑った。

「大ちゃん、分かってきた！」

「うん。少しだけ」

「じゃあ次は、ガウス整数」

「霊夢さん！」

「待って！　まだ異変じゃない！」