異変未満の午後 ～ Tea, Cola, Math and a Little Practice

8. 数論、幾何、解析

　チルノは、湖のほとりに新しい式を書いていた。

　大妖精は、もう半分泣きそうだった。

「チルノちゃん、さっきから数字が増えてるよ」

「数論だからね」

「数論って、数が増えるものなの？」

「増える。強いから」

　チルノは地面に枝で大きく書いた。

　３＋２ｉ

　大妖精は、その文字を見て固まった。

「チルノちゃん」

「なに？」

「数に変な棒が生えてる」

「これはｉだよ」

「い？」

「二乗するとマイナス一になるやつ」

「そんな数ないよ」

「ある」

「ないよ。だって、何を二回かけてもマイナスにならないよ」

「普通の数ならね。でも、あることにすると便利」

　チルノは堂々と言った。

　大妖精は震えた。

「やっぱり異変だよ。ないものをあるって言ってる」

「幻想郷っぽいでしょ」

「そういう問題じゃないよ」

　そのとき、空間に細い裂け目が開いた。

　紫色の隙間から、扇が出てきた。次に、八雲紫の顔が出てきた。

「ないものをあることにする。なかなか幻想郷らしい話をしているわね」

　大妖精はぱっと顔を上げた。

「紫さん！」

「こんにちは。大妖精。チルノも」

「ゆかりだ」

　チルノは枝を持ったまま、少し得意げに言った。

「今、ガウス整数をやってる」

「へえ」

　紫は隙間から半身を出し、地面の式を眺めた。

　２＋ｉ

　３＋２ｉ

　（２＋ｉ）（２−ｉ）＝５

　（３＋２ｉ）（３−２ｉ）＝１３

「なるほど。二平方和の話から来たのね」

「分かるの？」

　チルノが目を丸くした。

「私は幻想郷の賢者よ。このくらいは分かるわ」

「じゃあ、あたいと同じくらい強い？」

「その結論には境界があるわね」

　紫は扇で口元を隠した。

「でも、正直に言うと、私は数論より解析や幾何の方が好みね。連続、極限、境界、曲面、位相。そういうものの方が、私には馴染む」

　チルノは露骨に嫌そうな顔をした。

「解析は嫌い。あのルベーグとかいうやつ、よく分からない。ほとんど至る所って何？　全部じゃないなら全部じゃないでしょ」

「そこが面白いのよ」

「面白くない。ぐにゃぐにゃしてる」

「世界はぐにゃぐにゃしているものよ」

「整数は凍ってる」

「凍った世界だけでは、境界は動かせないわ」

「動かなくていい。凍ってる方が強い」

　紫は楽しそうに笑った。

「あなた、本当に氷の妖精ね」

　大妖精は紫に駆け寄った。

「あの、紫さん。チルノちゃんは大丈夫なんですか？」

「大丈夫でしょう」

「本当に？」

「少なくとも、異変ではないわ。少しだけ、世界の見え方が整数寄りになっているだけ」

「それは大丈夫なんですか？」

「幻想郷では、よくあることよ」

「よくあるんですか？」

「たぶん」

　大妖精は、あまり安心できなかった。

　そのとき、紫の隙間の奥から、別の声がした。

「紫様。そこは少し説明を補った方がよろしいかと」

　八雲藍が、隙間から静かに現れた。

　紫は少しだけ肩をすくめた。

「藍。あなたの領域かしら」

「どちらかといえば」

　藍は地面に書かれた式を見て、すぐに状況を理解したようだった。

「ガウス整数ですね」

「らんしゃま！」

　チルノがなぜか嬉しそうに叫んだ。

「狐は数字が得意そう！」

「狐だからではありませんが」

　藍は苦笑しながら、チルノの横にしゃがんだ。

「つまり、普通の整数ではなく、ａ＋ｂｉという形の数を考えているのですね。ここでａとｂは整数、ｉは二乗すると−１になるものです」

　大妖精は小さく手を上げた。

「あの、二乗するとマイナス一になるものは、本当にあるんですか？」

　藍は少し考えた。

「数直線の上にはありません」

「やっぱりないんですね」

「ですが、平面まで広げると、あると考えられます。横方向が普通の数、縦方向がｉの方向です」

　藍は地面に十字を書いた。

「たとえば、３＋２ｉは、横に３、縦に２進んだ点だと思えばよい」

「点なんですか？」

「点でもあり、数でもあります」

　大妖精はまた混乱した。

　紫が横から言った。

「ほら、幾何になったでしょう？」

　チルノが頬を膨らませた。

「数論だよ」

「平面に点を置いているなら幾何でもあるわ」

「整数の点だけだから数論！」

「境界が曖昧ねえ」

「曖昧にしないで！」

　藍は慣れた様子で二人を流し、説明を続けた。

「ガウス整数では、普通の整数が因数分解できることがあります。たとえば５」

　藍は書いた。

　５＝（２＋ｉ）（２−ｉ）

「計算すると、４−２ｉ＋２ｉ−ｉ²。ｉ²は−１なので、４＋１で５です」

　大妖精は目を瞬かせた。

「本当だ。変なところが消えて、５になった」

「そうです。同じように」

　藍はさらに書く。

　１３＝（３＋２ｉ）（３−２ｉ）

「９−６ｉ＋６ｉ−４ｉ²。つまり９＋４で１３」

　チルノが胸を張った。

「だから１３は３²＋２²！」

「その通りです」

　藍がうなずくと、チルノはとても嬉しそうに笑った。

　紫は扇で口元を隠したまま、少し面白そうに見ていた。

「なるほどね。四で割って一余る素数は、ガウス整数の世界では割れる。四で割って三余る素数は、そのまま素数らしく残る。整数の世界だけでは見えない分かれ目が、少し広い世界に行くと見える」

「そう！」

　チルノが枝を振った。

「広い世界に行くと、素数が割れる！」

　大妖精は不安そうに言った。

「素数が割れたら、素数じゃなくなっちゃうんじゃないの？」

「普通の整数では素数。でもガウス整数では割れることがある」

　藍は丁寧に言った。

「どの世界で見ているかによって、割れるか割れないかが変わるのです」

　紫が微笑んだ。

「境界の話ね」

「紫様は何でも境界の話にしすぎです」

「実際そうでしょう。整数とガウス整数の境界。実数と複素数の境界。離散と連続の境界」

「今はチルノさんに分かるように話しています」

「私にも分かるわよ」

「紫様にではありません」

　紫は少し不満そうに扇を閉じた。

　チルノは地面に、また大きく式を書いた。

　Ｎ（ａ＋ｂｉ）＝ａ²＋ｂ²

「ノルム！」

　藍が少し驚いた顔をした。

「そこまで知っているのですか」

「知ってる。強さを測るやつ」

「まあ、大きくは間違っていません」

「３＋２ｉの強さは１３！」

「ノルムは１３ですね」

「２＋ｉの強さは５！」

「ノルムは５です」

「やっぱり数論は分かりやすい。強さが数字で出る」

　大妖精はようやく少し笑った。

「チルノちゃんらしいね」

　紫は、地面に書かれたノルムの式を見つめた。

「でも、ノルムというのは面白いわね。複素数を、普通の整数へ戻す。広げた世界から、測れる量だけをこちらへ持ってくる」

「紫様、好みの話になってきましたね」

「だって境界をまたいでいるもの」

「はいはい」

　チルノは紫を見た。

「ゆかりは、ガウス整数好きじゃないの？」

「嫌いではないわ。ただ、私ならその平面を連続にしたくなる。点だけでなく、線も面も考えたい。どこで切れるか、どこが繋がっているか、どこからどこまでが内側か外側か」

「ぐにゃぐにゃしてる」

「ええ。ぐにゃぐにゃしているものを、ぐにゃぐにゃしたまま扱うのが好きなの」

「凍らせればいいのに」

「凍らせたら、動かなくなるでしょう」

「動かなくていいよ。分かりやすい」

「動くから面白いのよ」

「凍るから強い」

　二人はしばらく見つめ合った。

　藍が小さくため息をついた。

「紫様とチルノさんは、数学の趣味が正反対ですね」

「私は大人だから、連続の曖昧さを受け入れられるのよ」

「あたいは最強だから、整数をそのまま持てる！」

「会話が成立しているようで、成立していませんね」

　大妖精はぽつりと言った。

「でも、チルノちゃん、楽しそう」

　藍は少し柔らかい顔になった。

「ええ。理解の仕方は独特ですが、筋は悪くありません」

「本当ですか？」

「本当です。少なくとも、平方数を四で割った余りや、ガウス整数での因数分解を、具体例で追えている。これは立派です」

　チルノは得意げに胸を張った。

「ほら！　あたいは最強！」

　紫が扇を開いた。

「ただし、解析は苦手」

「ルベーグは嫌い」

「もったいないわね。測度論は、境界の妖怪としてはなかなか面白いのに」

「測るなら凍らせてから測る」

「凍らせると失われる情報もあるわ」

「溶ける方が悪い」

　藍はそこで、ふと思いついたように言った。

「では、チルノさん。次は整数を少し違う形で凍らせてみますか」

「違う形？」

「合同式です。たとえば、数を四で割った余りだけで見る。これは数を余りごとの箱に入れるようなものです」

　チルノの目が輝いた。

「箱に入れて凍らせる！」

「そうです」

　紫が横から口を挟んだ。

「それも一種の商空間ね」

「紫様」

「何？」

「この場合は商環と言った方がよろしいかと」

「細かいわねえ」

　チルノはすでに地面に新しい表を書き始めていた。

　０，１，２，３

　０²＝０

　１²＝１

　２²＝０

　３²＝１

「見て、大ちゃん！　四の世界では、平方数は０か１！」

「それはさっきより少し分かる！」

「でしょ！」

　大妖精はほっとした。

　チルノはおかしくなったのではない。

　たぶん、異変でもない。

　ただ、氷の妖精が、いつもとは違うものを凍らせ始めただけだ。

　蛙ではなく、数を。

　湖ではなく、余りを。

　弾幕ではなく、素数を。

　紫はその様子を見ながら、楽しげに目を細めた。

「六枚羽根の氷の妖精が、整数を凍らせる。なかなか幻想郷らしいわね」

「紫様」

　藍が小声で言った。

「何？」

「気に入りましたね」

「ええ」

　紫は微笑んだ。

「こういう小さな異変未満が、幻想郷を面白くするのよ」

　チルノが振り向いた。

「異変じゃないってば！」

「ええ。異変ではないわ」

　紫は扇で地面の式を指した。

「ただの最強の寄り道ね」

　チルノは満足そうに笑った。

「そう！　あたいは最強だから、寄り道も強い！」

　大妖精は、もう巫女を呼びに行くのをやめた。

　その代わり、チルノの隣に座って、四で割った余りの表を一緒に眺めることにした。